Fórmula de secuencia de Fibonacci: cómo encontrar números de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci es un patrón de números que se repite en toda la naturaleza.

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• ¿Qué es la secuencia de Fibonacci?
• El origen de la secuencia de Fibonacci
• Fórmula del número de Fibonacci
• Secuencia de Fibonacci y la proporción áurea
• Secuencia de Fibonacci en la naturaleza
• Aprende más
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¿Qué es la secuencia de Fibonacci?

La secuencia de Fibonacci es una de las fórmulas más conocidas en la teoría de números y una de las secuencias enteras más simples definidas por una relación de recurrencia lineal. En la secuencia de números de Fibonacci, cada número de la secuencia es la suma de los dos números anteriores, con 0 y 1 como los dos primeros números. La serie de números de Fibonacci comienza de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. La secuencia de Fibonacci es útil para sus aplicaciones en matemáticas y estadística avanzadas, informática, economía y naturaleza.

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El origen de la secuencia de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en textos sánscritos antiguos ya en el año 200 a. C., pero la secuencia no fue ampliamente conocida en el mundo occidental hasta 1202 cuando el matemático italiano Leonardo Pisano Bogollo la publicó en su libro de cálculos llamado Liber Abaci . Leonardo también recibió el apodo de Leonardo de Pisa, pero no fue hasta 1838 que los historiadores le dieron el apodo de Fibonacci (que se traduce aproximadamente como 'hijo de Bonacci'). Además de popularizar la secuencia de Fibonacci, el libro de Fibonacci Liber Abaci abogó por el uso de números hindúes-arábigos (1, 2, 3, 4, etc.) y ayudó a reemplazar el sistema de números romanos (I, II, III, IV, etc.) en toda Europa.

En Liber Abaci , la secuencia de Fibonacci se usó en realidad para responder a un problema matemático hipotético que involucra el crecimiento de la población de conejos: si un solo par de conejos se aparean al final de cada mes, entonces nacen un nuevo par de conejos un mes después de aparearse, y todos los pares nuevos los conejos siguen ese mismo patrón, ¿cuántas parejas o conejos existirán en un año? Así es como comenzaría a responder este problema:

• Empezar con 1 par de conejos.
• Al final del primer mes, todavía hay solo 1 par de conejos desde que se aparearon, pero aún no han parido.
• Al final del segundo mes, hay 2 pares de conejos desde el primer par ahora han dado a luz un segundo par.
• Al final del tercer mes, hay 3 parejas de conejos. Esto se debe a que la primera pareja ha dado a luz a una tercera pareja, pero la segunda pareja solo se ha apareado.
• Al final del cuarto mes, ahora hay 5 parejas de conejos. Esto se debe a que la primera pareja ha dado a luz a otra pareja, y la segunda pareja ahora ha dado a luz a su primera pareja.

Como puede ver, este patrón 1, 1, 2, 3, 5 sigue la secuencia de Fibonacci. Si continúa durante 12 meses, el número de pares será 144.

Fórmula del número de Fibonacci

Para calcular cada número de Fibonacci sucesivo en la serie de Fibonacci, use la fórmula

donde 𝐹 es el 𝑛º número de Fibonacci en la secuencia, y los dos primeros números, 𝐹0 y 𝐹1, se establecen en 0 y 1 respectivamente.

El único problema con esta fórmula es que es una fórmula recursiva, lo que significa que define cada número de la secuencia utilizando los números anteriores. Entonces, si quisiera calcular el décimo número en la secuencia de Fibonacci, primero necesitaría calcular el noveno y el octavo, pero para obtener el noveno número necesitaría el octavo y el séptimo, y así sucesivamente.

Para encontrar cualquier número en la secuencia de Fibonacci sin ninguno de los números anteriores, puede usar una expresión de forma cerrada llamada fórmula de Binet:

En la fórmula de Binet, la letra griega phi (φ) representa un número irracional llamado proporción áurea: (1 + √ 5) / 2, que redondeado al lugar de las milésimas más cercano equivale a 1,618.

Secuencia de Fibonacci y la proporción áurea

La proporción áurea (o sección áurea) es un número irracional que resulta cuando la proporción de dos números es la misma que la proporción entre su suma y el mayor de los dos números. La secuencia de Fibonacci está estrechamente relacionada con la proporción áurea porque a medida que aumentan los números de Fibonacci, la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos se acerca cada vez más a la proporción áurea.

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Secuencia de Fibonacci en la naturaleza

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Existe una considerable desinformación sobre dónde puede encontrar la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea en el mundo real; a pesar de lo que pueda leer, la proporción áurea no se usó para construir las pirámides en Giza, y la concha marina nautilus no produce nuevas células basadas en la secuencia de Fibonacci.

Pero estas propiedades matemáticas detrás de la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea aparecen en la naturaleza de varias maneras. Por ejemplo, puede encontrar la proporción áurea en la disposición en espiral de las hojas (llamada filotaxis) en algunas plantas, o en el patrón en espiral dorado de las piñas, la coliflor, las piñas y la disposición de las semillas en los girasoles. Además, el número de pétalos de una flor suele ser un número de Fibonacci.

Además, el árbol genealógico de una abeja sigue la secuencia de Fibonacci. Esto se debe a que un dron macho nace de un huevo no fertilizado y solo tiene un padre, mientras que las abejas hembras tienen dos padres. Esto da como resultado el árbol genealógico de un dron que consta de un padre, dos abuelos, tres bisabuelos, cinco tatarabuelos, etc., a lo largo de la secuencia de Fibonacci.

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